[KALKULUS] TEOREMA LIMIT

TEOREMA LIMIT

Hai Guys, blog kali ini saya akan menjelaskan kepada teman-teman semua tentang Teorema Limit, untuk lebih lanjut silahkan dicek ya dibawah. enjoy.

DEFINISI :
"Menghitung limit disuatu titik dengan menggunakan defisi dan pembuktian seperti yang telah diuraikan sebelumnya dalah pekerjaan rumit. semakin bentuk fungsinya, semakin rumit juga masalah yang akan dihadapi"

Misalkan n bilangan asli, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

Teorema 1 (T.1) : limx→ck=k

Nilai limit suatu fungsi konstan sama dengan konstanta itu.

Teorema 2 (T.2) : limx→cx=c

Nilai limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya.

Teorema 3 (T.3) : limx→ckf(x)=klimx→cf(x)

Limit hasil kali konstanta dengan fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu.

Teorema 4 (T.4) : limx→c(f(x)+g(x))=limx→cf(x)+limx→cg(x)

Limit jumlah fungsi-fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi.

Teorema 5 (T.5) : limx→c(f(x)−g(x))=limx→cf(x)−limx→cg(x)

Limit selisih fungsi-fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi.

Teorema 6 (T.6) : limx→c(f(x)g(x))=limx→cf(x).limx→cg(x)

Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.

Teorema 7 (T.7) : limx→cf(x)g(x)=limx→cf(x)limx→cg(x), syaratnya g (x) ≠ 0

Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limit fungsi dengan syarat limit penyebut tidak sama dengan nol.

Teorema 8 (T.8) : limx→c[f(x)]n=[limx→cf(x)]n$\underset{}{l}$

Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.

Teorema 9 (T.9) : limx→cf(x)−−−−√n=limx→cf(x)−−−−−−−√n

Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu dengan syarat limit fungsi tersebut tidak negatif untuk n bilangan genap.

Contoh 1 
Hitung limit berikut dengan menggunakan teorema dasar limit !
a.  ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3)
     Jawab :
     ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3) = ${}_{x\to 3}^{lim}$ 2x  +  ${}_{x\to 3}^{lim}$ 3   (teorema A.4)
     ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3) = 2 ${}_{x\to 3}^{lim}$ x  +  3   (A.3 dan A.1)
     ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3) = 2 . 3  +  3   (A.2)
     ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3) = 9

b.  ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$
     Jawab :
     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = $\sqrt{{}_{x\to 5}^{lim}(x^2-16)}$   (A.9)
     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = $\sqrt{{}_{x\to 5}^{lim}{x}^2-{}_{x\to 5}^{lim}16}$   (A.5)

     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = $\sqrt{{\left[{}_{x\to 5}^{lim}x\right]}^2-16}$   (A.8 dan A.1)

     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = $\sqrt{5^2-16}$   (A.2)

     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = 3

 Contoh 2 

Jika  ${}_{x\to a}^{lim}$ f(x)  = 3  dan  ${}_{x\to a}^{lim}$ g(x)  = 8, tentukan nilai dari  ${}_{x\to a}^{lim}\frac{f^2\left(x\right)-g\left(x\right)}{2f\left(x\right)+\sqrt[3]{3g\left(x\right)}}$
Jawab :
${}_{x\to a}^{lim}\frac{f^2\left(x\right)-g\left(x\right)}{2f\left(x\right)+\sqrt[3]{3g\left(x\right)}}$ = $\frac{{\left[{}_{x\to a}^{lim}f\left(x\right)\right]}^2-{}_{x\to a}^{lim}g\left(x\right)}{2{}_{x\to a}^{lim}f\left(x\right)+\sqrt[3]{3{}_{x\to a}^{lim}g\left(x\right)}}$
${}_{x\to a}^{lim}\frac{f^2\left(x\right)-g\left(x\right)}{2f\left(x\right)+\sqrt[3]{3g\left(x\right)}}$ = $\frac{3^2-8}{2.3+\sqrt[3]{38}}$
${}_{x\to a}^{lim}\frac{f^2\left(x\right)-g\left(x\right)}{2f\left(x\right)+\sqrt[3]{3g\left(x\right)}}$ = $\frac{1}{8}$

Teorema B  : Teorema Substitusi
Jika f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional dan f terdefinisi di c, maka$$\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=f\left(c\right)$$
 Contoh 3 
Jika f(x) = x³ − 3x, tentukan  ${}_{x\to 2}^{lim}$ f(x)
Jawab :
Perhatikan bahwa f(x) adalah fungsi polinom dan kita tahu bahwa fungsi polinom terdefinisi untuk setiap x bilangan real. Jadi, f(x) terdefinisi di 2, akibatnya
${}_{x\to 2}^{lim}$ (x³ − 3x) = 2³ − 3.2 = 2


 Contoh 4 
Jika g(x) = $\frac{x^2+x-6}{x-2}$, tentukan  ${}_{x\to 1}^{lim}$ g(x)
Jawab :
Perhatikan bahwa g(x) adalah fungsi rasional dan kita tahu bahwa fungsi rasional terdefinisi untuk setiap x bilangan real kecuali nilai-nilai x yang menyebabkan penyebutnya bernilai nol, yaitu x = 2. Jadi, g(x) terdefinisi di 1, akibatnya
${}_{x\to 1}^{lim}$ $\frac{x^2+x-6}{x-2}$ = $\frac{1^2+1-6}{1-2}$ = 4


 Contoh 5 
Diketahui f(x) = $\{\begin{array}{c}2xjikax<1\\ x^{2}jika1\le x<2\\ x+2jikax\ge 2\end{array}$
Tentukan limit berikut jika ada !
a.  ${}_{x\to 1}^{lim}$ f(x)
b.  ${}_{x\to 2}^{lim}$ f(x)

Jawab :
a.  Untuk x < 1,  f(x) = 2x, sehingga
     ${}_{x\to 1^{-}}^{lim}$ f(x) = ${}_{x\to 1^{-}}^{lim}$ 2x = 2 . 1 = 2

     Untuk x > 1,  f(x) = x², sehingga
     ${}_{x\to 1^{+}}^{lim}$ f(x) = ${}_{x\to 1^{+}}^{lim}$ x² = 1² = 1

     Limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
     ${}_{x\to 1}^{lim}$ f(x)  tidak ada

b.  Untuk x < 2,  f(x) = x², sehingga
     ${}_{x\to 2^{-}}^{lim}$ f(x) = ${}_{x\to 2^{-}}^{lim}$ x² = 2² = 4

     Untuk x > 2, f(x) = x + 2, sehingga
     ${}_{x\to 2^{+}}^{lim}$ f(x) = ${}_{x\to 2^{+}}^{lim}$ (x + 2) = 2 + 2 = 4

     Limit kiri = limit kanan = 4, akibatnya
     ${}_{x\to 2}^{lim}$ f(x) = 4

 Teorema C 
Jika f(x) = g(x) ketika x ≠ c, maka$$\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)$$asalkan limitnya ada.


 Contoh 6 
Hitung  ${}_{x\to 2}^{lim}\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}$
Jawab :
Karena $\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}$ = x + 3,  ketika x ≠ 2, akibatnya

${}_{x\to 2}^{lim}\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}$ = ${}_{x\to 2}^{lim}$ (x + 3)
${}_{x\to 2}^{lim}\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}$ = 2 + 3
${}_{x\to 2}^{lim}\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}$ = 5


 Contoh 7 
Diketahui f(x) = $\frac{\left|x-1\right|}{x-1}$. Hitung  ${}_{x\to 1}^{lim}f\left(x\right)$ jika ada !

Jawab :
Berdasarkan definisi nilai mutlak :
|x − 1| = x − 1       jika x ≥ 1
|x − 1| = −(x − 1)  jika x < 1

Untuk x < 1, f(x) = $\frac{-(x-1)}{x-1}$ = -1, sehingga
${}_{x\to 1^{-}}^{lim}$ f(x) =  ${}_{x\to 1^{-}}^{lim}(-1)$ =  -1

Untuk x > 1, f(x) = $\frac{x-1}{x-1}$ = 1, sehingga
${}_{x\to 1^{+}}^{lim}$ f(x) =  ${}_{x\to 1^{+}}^{lim}\left(1\right)$ =  1

Limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
${}_{x\to 1}^{lim}\frac{\left|x-1\right|}{x-1}$ tidak ada

 Teorema D  : Teorema Apit
Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x di dekat a, kecuali mungkin di a.$$\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to c}{lim}h\left(x\right)=L\Rightarrow \underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)=L$$

 Contoh 8 
Jika untuk setiap x berlaku  2x ≤ f(x) ≤ x² + 1, hitunglah  ${}_{x\to 1}^{lim}$ f(x)
Jawab :
2x ≤ f(x) ≤ x² + 1
${}_{x\to 1}^{lim}$ 2x  = 2 . 1 = 2
${}_{x\to 1}^{lim}$ (x² + 1)  = 1² + 1 = 2

Karena  ${}_{x\to 1}^{lim}$ 2x  = ${}_{x\to 1}^{lim}$ (x² + 1)  = 2, berdasarkan teorema apit kita simpulkan
${}_{x\to 1}^{lim}$ f(x)  = 2


 Contoh 9 
Gunakan teorema apit untuk menunjukkan bahwa  ${}_{x\to 0}^{lim}$ x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ = 0
Jawab :
Nilai sin θ selalu berada pada interval -1 dan 1 berapapun θ. Secara matematis kita tulis
-1 ≤ sin θ ≤ 1

Jika θ = $\left(\frac{1}{x}\right)$,  maka  -1 ≤ sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ ≤ 1

Jika setiap ruas dikalikan dengan x akan diperoleh 2 kasus berikut :
Kasus 1 : Untuk x > 0 diperoleh
-x ≤ x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ ≤ x
Karena ${}_{x\to 0^{+}}^{lim}$-x  =  ${}_{x\to 0^{+}}^{lim}$x  = 0, sesuai teorema apit kita simpulkan
${}_{x\to 0^{+}}^{lim}$ x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ = 0   ..........(1)

Kasus 2 : Untuk x < 0 diperoleh
-x ≥ x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ ≥ x  atau dapat pula ditulis
x ≤ x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ ≤ -x
Karena  ${}_{x\to 0^{-}}^{lim}$x  =  ${}_{x\to 0^{-}}^{lim}$-x  = 0, sesuai teorema apit kita simpulkan
${}_{x\to 0^{-}}^{lim}$ x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ = 0   ...........(2)

Dari persamaan (1) dan (2), dapat kita lihat bahwa limit kiri dan limit kanan x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ untuk x menuju 0 nilainya sama, yaitu 0. Akibatnya
${}_{x\to 0}^{lim}$ x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ = 0

Dari grafiknya jelas terlihat, kurva y = x sin$\left(\frac{1}{x}\right)$ diapit oleh garis y = -x dan y = x dan ketika x mendekati nol, nilai limitnya dipaksa untuk sama dengan nilai limit kedua garis tersebut.

sumber https://smatika.blogspot.com/2017/09/teorema-limit.html