KALKULUS | BENTUK LIMIT TAK TENTU DENGAN ATURAN L'HOPITAL (PART 1)

Bentuk Tak Tentu

BAB 2 BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR

• Bentuk Tak Tentu

Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

Pada bab ini kita hanya membahas empay bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi.

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu :

1.Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk 0/0 :

2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

3. Bentuk tak tentu 0.∞ :

 

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :

 Bagian paling penting dari dalil L’Hospital adalah syarat berlakunya hanya pada bentuk tak tentu

0/0 ATAU ~/~

Contoh:

1. Hitung

Jawab:
Langsung gunakan dalil L’Hospital, turunkan

 (Selesai)

Memang mudahkan?

Tetapi langkah di atas dapat saja salah. Karena kita belum menguji syarat berlakunya dalil L’Hospital. Seharusnya, sebelum menghitung,

ujilah untuk x = 2,

maka hasilnya adalah

(8 – 8)/(2 – 2) = (0/0); jadi berlaku L’Hospital.

2. Hitung

Jawab:
Langsung gunakan dalil L’Hospital, turunkan

 (Selesai)

Memang mudahkan?

Tetapi jawaban di atas adalah SALAH.

Mengapa?

Mari kita uji dulu x = 3, maka

(3^3 – 27)/(3 – 2) = 0/1 = 0

Karena bukan 0/0 maka tidak sah menggunakan dalil L’Hospital.

Berapa hasil limit di atas?

Ya 0 itu sendiri.

(3^3 – 27)/(3 – 2) = 0/1 = 0 (Sendiri).

Bagaimana pun dalil L’Hospital sangat hebat dan membantu. Namun kita harus ingat syarat dan ketentuan berlaku….

sumber https://elmunawarahnurdini.wordpress.com/bentuk-tak-tentu/