Zulfi Rafidhoh Hikmi- IT PLN

SISTEM BILANGAN REAL

Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas atau koleksi dari obejk-objek yang didefinisikan dengan jelas. Misalnya himpunan huruf kapital yang tediri dari A, B, C, D, ...., Z. Setiap karakter A, B, C, D, ..., Z yang termasuk di dalam himpunan huruf kapital tersebut dinamakan anggota atau elemen dari himpunan yang dimaksud. Beberapa himpunan yang seluruh anggotanya terdapat dalam himpunan huruf kapital tersebut, misalnya himpunan A, B, C, disebut dengan subset atau himpunan bagian dari A, B, C, ..., Z. Suatu himpunan yang tidak memiliki elemen disebut himpunan kosong yang dinotasikan dengan ∅ atau { }.

Berikut contoh bilangan real:

• 0
• 1
• 23
• 12,6
• ½ = 0,5
• √2 = 1,4142 …
• e = 2,718281 …
• π = 3,141592 …
• 76% = 0,76
• sin 60º = 0.866 …

1. Sistem Bilangan Real

Berkut ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real.
a. Himpunan bilangan asli; {1, 2, 3, ...}, dinotasikan dengan ℕ = {1, 2, 3, ...}.
    Bilangan asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli
    biasa juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.
b. Himpunan bilangan bulat; {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dinotasikan dengan ℤ = {...,-2, -1, 0, 1, 2, ...}.
c. Himpunan bilangan rasional; misalnya {16/2, 2/3, dsb}, dinotasikan dengan ℚ.
d. Himpunan bilangan irasional; misalnya { 2 , 3 7 , π, dsb}, merupakan bilangan yang tidak                    rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk m n dengan m dan n bilangan bulat          dan n ≠ 0.

Himpunan bilangan real sendiri dinotasikan dengan ℝ merupakan kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat digunakan untuk mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut, dan nol. Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untuk titik-titik yang berada di sepanjang sebuah garis bilangan. Di situ, bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal (biasanya diberi label 0). Walaupun mustahil untuk menampilkan seluruh label tersebut, tetapi setiap titik pada dasarnya mempunyai sebuah label bilangan real yang unik.

Bilangan yang dimaksud dinamakan koordinat dari titik tersebut dan garis koordinat yang dihasilkan disebut garis real.

2. Operasi pada Bilangan Real

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut:

a. Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian Hasil operasi a + b dan ab adalah bilangan bulat real.

b. Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian a + b = b + a dan ac = ca

c. Assossiatif terhadap penjumlahan dan perkalian a + (b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)c

d. Distributif a(b + c) = ab + ac

e. Memiliki elemen identitas (0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan, dan 1 adalah elemen        identitas terhadap perkalian). a + 0 = 0 + a = a, dan 1a = a1 = a

f. Memiliki invers Terhadap penjumlahan; Untuk setiap a ∈ ℝ terdapat x ∈ ℝ sedemikian sehingga x     + a = a + x = 0. Dalam hal ini x = -a. Jadi, invers dari bilangan real a terhadap operasi penjumlahan     adalah –a. Terhadap perkalian; Untuk setiap a ∈ ℝ terdapat x ∈ ℝ sedemikian sehingga x a = a x =1. Dalam hal ini x = 1/a . Jadi, invers dari bilangan real a terhadap operasi Perkalian adalah 1/a .

Dari sifat bilangan real tersebut maka didefinisikan operasi pengurangan dan pembagian sebagai a – b = a + (-b) dan a b = ab-1..

3. Macam-Macam Bilangan Real

Dalam sistem bilangan pada ilmu matematika, bilangan real terdiri dari 2 sistem bilangan yaitu:

1. Bilangan Rasional

   Seperti penjelasan di atas, bilangan rasional adalah sistem bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.
   Misalnya: 0; 23; 1,25; dan lain-lain.

2. Bilangan Irasional

   Bilangan irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b namun dapat ditulis dalam bentuk desimal. Misalnya:
   π (phi) =  3,14159 26535 89793 …
   e (euler) =  2,7182818….

C. Sifat-Sifat Bilangan Real

Berikut sifat-sifat bilangan real:

Sifat	Penambahan	Perkalian
Tertutup	a + b = adalah bilangan real	a × b = adalah bilangan real
Asosiatif	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
Komutatif	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
Mempunyai unsur identitas	a + 0  =  a	a × 1  =  a
Setiap bilangan punya invers	a + (−a)  =  0	a × (1/a) = 1, dengan a ≠ 0
Distributif	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol	–	jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)

Keterangan:

1. Tertutup: operasi perkalian dan penjumlahan bilangan real menghasilkan bilangan real.
2. Asosiatif: penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan real yang dikelompokkan secara berbeda mempunyai hasil yang sama.
3. Komutatif: pertukaran letak angka pada penjumlahan dan perkalian bilangan real mempunyai hasil sama.
4. Unsur identitas: operasi perkalian dan penjumlahan setiap bilangan real dengan identitasnya dapat menghasilkan bilangan real itu sendiri.
5. Mempunyai Invers: setiap bilangan real mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, suatu bilangan real yang dioperasikan dengan invers menghasilkan unsur identitasnya.
6. Sifat Distributif: suatu penggabungan dengan kombinasi bilangan real dari hasil operasi terhadap elemen-elemen kombinasi tersebut
7. Tidak ada pembagi nol: pembagian bilangan real dengan nol menghasilkan nilai tidak terdefinisi (∞).