KALKULUS | TITIK EKSTRIM PADA FUNGSI

-


Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan f′(a)=0 maka f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).
Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan f(b) adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.


Contoh 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi f(x)=x2−4x

Jawab :
f '(x) = 2x − 4
f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada saat x = 2

Nilai stasioner : f(2) = (2)2 − 4(2) = −4
Titik stasioner : (2, −4)


Contoh 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi f(x)=x3−3x+1
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 3
f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 3x2 − 3 = 0
⇔ x2 − 1 = 0
⇔ (x + 1)(x − 1 ) = 0
⇔ x = −1 atau x = 1
Nilai stasioner pada x = −1 :
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = 3

Nilai stasioner pada x = 1 :
f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = −1

Titik stasioner : (−1, 3) dan (1, −1)

Nilai-nilai stasioner sering juga disebut sebagai bakal calon nilai ektrim. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut dengan nilai maksimum/minimum relatif atau maksimum/minimum lokal.

Untuk menentukan jenis ektrim suatu fungsi dapat dilakukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.

Uji Turunan Pertama

Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a.
1.  f(a) adalah nilai balik maksimum, jika : 
     untuk x < a maka f '(x) > 0 (naik)
     untuk x > a maka f '(x) < 0 (turun)
    2.  f(a) adalah nilai balik minimum, jika :
         untuk x < a maka f '(x) < 0 (turun)
         untuk x > a maka f '(x) > 0 (naik)
      Contoh 3
      Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukan jenis ekstrim dari fungsi f(x)=x3−6x2+9x+1

      Jawab :
      f '(x) = 3x2 − 12x + 9

      f '(x) = 0
      ⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0
      ⇔ x2 − 4x + 3 = 0
      ⇔ (x − 1)(x − 3) = 0
      ⇔ x = 1 atau x = 3

      Nilai stasioner di x = 1 adalah
      f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5

      Nilai stasioner di x = 3 adalah
      f(3) =  (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1

      Karena pada x = 1 terjadi perubahan dari naik menjadi turun, maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum.
      Karena pada x = 3 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum.



      sumber https://www.youtube.com/feed/my_videos

      Komentar

      Posting Komentar

      Postingan populer dari blog ini

      KALKULUS | BENTUK LIMIT TAK TENTU DENGAN ATURAN L'HOPITAL (PART 1)

      -
      Gambar
      Bentuk Tak Tentu BAB 2 BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR Bentuk Tak Tentu Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa : Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu : Pada bab ini kita hanya membahas empay bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi. Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu : Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu : 1.Bentuk tak tentu 0/0 : Cara penyelesaian :   Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut,...
      Baca selengkapnya

      Yuk Belajar!! Determinan Matriks, metode ekspansi laplace dan determinan metode ekspansi laplace

      -
      Gambar
      Belajar Tentang matriks yuk!! Determinan Matriks, Metode Ekspansi Laplace , Determinan Metode Ekspansi Laplace. Hai zulfirian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar, ya! Apa jadinya dunia ini tanpa ilmu pengetahuan? Pernahkah para pemuda berpikir demikian? Dunia tanpa ilmu pengetahuan ibarat rumah tanpa lampu. Berkembangnya ilmu pengetahun tidak lepas dari peran para ilmuwan. Mereka rela menghabiskan waktu, tenaga, pikiran hanya untuk mengamati, memahami, dan menganalisis gejala alam di sekitar. Hal itu tentu tidak mudah, mengingat banyak variabel yang harus mereka pertimbangkan sebelum merumuskan ilmu pengetahuan yang baku dan bisa diterima semua orang. Saat menghadapi permasalahan dengan berbagai variabel, metode yang biasa digunakan adalah matriks. Hay sahabat,, hari ini kita akan melanjutkan kembali belajar matematika. Kali ini materi yang akan dibahas adalah Bagaimana Cara Menentukan Determinan Matriks, Metode ekspansi Laplace, Determ...
      Baca selengkapnya

      Matirks Metode OBE (operasi baris elementer)

      -
      Gambar
      Matriks Metode OBE (Operasi Baris Elementer) Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik. Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol. Pertukarkan dua persamaan tersebut. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya. Karena baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar beresuaian dengan persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol. Pertukarkanlah dua baris tersebut. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang ...
      Baca selengkapnya