BASIS RUANG BARIS, BASIS RUANG KOLOM by Zulfi

-



Salah satu fakta yang menarik mengenai himpunan pembangun adalah dua himpunan yang berbeda dari suatu ruang vektor dapat membangun ruang vektor yang sama. Contoh sederhana berikut memperlihatkan fenomena tersebut, yaitu
  \[\mathbb{R}^{3}=\left\langle\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}\right\rangle=\left\langle\begin{bmatrix} 1 \\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\0\\1\end{bmatrix}\right\rangle.\]
Pertanyaan:
Jika diberikan sebuah ruang vektor V , apakah terdapat jumlah terkecil dari vektor yang membangun V?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, terlebih dahulu diberikan definisi mengenai bebas linear dan bergantung linear.
Definisi:
Misal V adalah ruang vektor atas lapangan F. Himpunan hingga \{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\}  dari vektor dari V dikatakan bergantung linear (terhadap F) jika vektor nol adalah kombinasi linear non trivial dari v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}, sebaliknya himpunan \{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\} disebut bebas linear.
Berdasarkan definisi di atas, himpunan \{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\} adalah sebuah himpunan bergantung linear jika terdapat skalar c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\in F yang tidak semua nol sehingga
  \[c_{1}v_{1}c_{2}v_{2}+\cdots+c_{n}v_{n}=0\]
.
Untuuk kasus sebaliknya, himpunan \{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\} adalah sebuah himpunan bergantung linear jika vektor nol hanya dapat dituliskan sebagai kombinasi linear trivial dari vektor-vektor tersebut, yakni jika
  \[c_{1}v_{1}c_{2}v_{2}+\cdots+c_{n}v_{n}=0\]
mengakibatkan c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0.

Untuk memperjelas pemahaman mengenai himpunan bebas linear, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.
Contoh Himpunan Bergantung Linear:
Himpunan \left\{\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}\right\} merupakan himpunan bergantung linear (tidak bebas linear) karena terdapat skalar c_{1}=1, c_{2}=0, c_{3}=-1, c_{4}=-1\in \mathbb{R} dan berlaku
  \[c_{1}\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}+c_{3}\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}+c_{4}\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}\]

Contoh Himpunan Bebas Linear:
Himpunan \left\{\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}\right\} merupakan himpunan bebas linear sebab untuk sebarang skalar c_{1}, c_{2}, c_{3}\in \mathbb{R} yang memenuhi
  \[c_{1}\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}+c_{3}\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}\]
berakibat
  \begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} c_{1} \\c_{1}\\c_{1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} c_{2}\\c_{2}\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\c_{3}\\c_{3}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} c_{1}+c_{2}\\c_{1}+c_{2}+c_{3}\\c_{1}+c_{3}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} \end{split} \end{equation*}
Sehingga diperoleh sistem persamaan linear
  \begin{equation*} \begin{split} c_{1}+c_{2}&=0\\ c_{1}+c_{2}+c_{3}&=0\\ c_{1}+c_{3}&=0. \end{split} \end{equation*}
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh nilai c_{3}=0. Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai c_{3} ke persamaan (3) diperoleh nilai c_{1}=0. Dengan  mensubstitusikan nilai c_{1} ke persamaan (1) diperoleh nilai c_{2}=0. Dengan demikian diperoleh c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

KALKULUS | BENTUK LIMIT TAK TENTU DENGAN ATURAN L'HOPITAL (PART 1)

-
Gambar
Bentuk Tak Tentu BAB 2 BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR Bentuk Tak Tentu Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa : Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu : Pada bab ini kita hanya membahas empay bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi. Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu : Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu : 1.Bentuk tak tentu 0/0 : Cara penyelesaian :   Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut,...
Baca selengkapnya

Yuk Belajar!! Determinan Matriks, metode ekspansi laplace dan determinan metode ekspansi laplace

-
Gambar
Belajar Tentang matriks yuk!! Determinan Matriks, Metode Ekspansi Laplace , Determinan Metode Ekspansi Laplace. Hai zulfirian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar, ya! Apa jadinya dunia ini tanpa ilmu pengetahuan? Pernahkah para pemuda berpikir demikian? Dunia tanpa ilmu pengetahuan ibarat rumah tanpa lampu. Berkembangnya ilmu pengetahun tidak lepas dari peran para ilmuwan. Mereka rela menghabiskan waktu, tenaga, pikiran hanya untuk mengamati, memahami, dan menganalisis gejala alam di sekitar. Hal itu tentu tidak mudah, mengingat banyak variabel yang harus mereka pertimbangkan sebelum merumuskan ilmu pengetahuan yang baku dan bisa diterima semua orang. Saat menghadapi permasalahan dengan berbagai variabel, metode yang biasa digunakan adalah matriks. Hay sahabat,, hari ini kita akan melanjutkan kembali belajar matematika. Kali ini materi yang akan dibahas adalah Bagaimana Cara Menentukan Determinan Matriks, Metode ekspansi Laplace, Determ...
Baca selengkapnya

Matirks Metode OBE (operasi baris elementer)

-
Gambar
Matriks Metode OBE (Operasi Baris Elementer) Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik. Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol. Pertukarkan dua persamaan tersebut. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya. Karena baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar beresuaian dengan persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol. Pertukarkanlah dua baris tersebut. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang ...
Baca selengkapnya