MATRIKS METODE ELEMENTER DAN PARTISI

Mengalikan sebuah baris dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol, dinotasikan :

k R_{i} \to R_{1}

Contoh :

Jika kita punya matriks

I_{2 \times 2}

dan dikenakan operasi

- \frac{\sqrt{3}}{2} R_{2} \to R_{2}

maka kita peroleh matriks elementer sebagai berikut :

[1001] \to [10 0 - 3 \sqrt 2]

Menambahkan kelipatan dari suatu baris dengan baris lain, dinotasikan :

k R_{1} + R_{j} \to R_{j}

Contoh :

Jika matriks satuan

I_{4 \times 4}

dikenakan operasi

π R_{2} + R_{3} \to R_{3}

maka akan diperoleh :

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 1000010000100001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 1000 01 π 0 00100001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

Setelah mengetahui definisi dan bentuk matriks elementer selanjutnya kita akan mempelajari sifat-sifatnya melalui teorema-teorema berikut. Catatan : Untuk selanjutnya untuk penamaan matriks elementer kita akan menggunakan simbol

E

Teorema 1

Misalkan $E$

adalah matriks elementer yang dibentuk dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada

I_{n \times n}

(matriks satuan). Jika operasi baris elementer yang sama dikenakan pada sebarang matriks

A_{n \times m}

maka hasilnya sama dengan hasil kali

E A

.

Contoh penerapan dari teorema 1 :

Misalkan didefinisikan matriks

A

dan

E

sebagai berikut :

A = ⎡ ⎣ ⎢ 23 - 3 - 4 - 1 2 705110 ⎤ ⎦ ⎥

I 3 \times 3 - \to - - - - - - 3 R 3 + R 1 \to R 1 E = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ 100010301 ⎤ ⎦ ⎥

Kita akan mengecek kebenaran teorema 1 dari contoh ini. Apakah benar :

A - \to - - - - - - 3 R 3 + R 1 \to R 1 E A

Untuk pernyataan di atas, dengan operasi perkalian antar matriks kita dapatkan :

E A = ⎡ ⎣ ⎢ 100010301 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 23 - 3 - 4 - 1 2 705110 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ - 7 3 - 3 2 - 1 2 2205110 ⎤ ⎦ ⎥ \dots (i)

Kemudian kita kenakan matriks

A

dengan OBE yang sama

3 R_{3} + R_{1} \to R_{1}

sehingga kita peroleh :

⎡ ⎣ ⎢ 23 - 3 - 4 - 1 2 705110 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ - 7 3 - 3 2 - 1 2 2205110 ⎤ ⎦ ⎥ \dots (i i)

Dari persamaan

(i)

dan

(i i)

, ditarik kesimpulan bila kita mengenakan OBE

3 R_{3} + R_{1} \to R_{1}

pada matriks A maka hasilnya akan sama dengan hasil kali

E A

. Jadi pernyataan

A \to_{}^{3 R_{3} + R_{1} \to R_{1}} E A

bernilai benar.

Tambahan

Mari kita berpikir bersama, sebuah OBE yang dikenakan pada matriks satuan

I

dapat menghasilkan matriks elementer

E

Lalu apakah ada OBE yang jika dikenakan pada matriks

E

akan menghasilkan matriks satuan

I

Jawabannya adalah ada!

Misalkan jika

E

kita peroleh dengan menukarkan baris ke-

i

dengan baris ke-

j

pada

I

, maka kita dapat mencari matriks

I

jika kita menukarkan baris ke-

j

dengan baris ke-

i

pada

E

Untuk operasi lainnya simak tabel berikut :

OBE pada $I$

yang menghasilkan $E$

	OBE pada $E$

yang menghasilkan $I$


Mempertukarkan baris ke- $i$

dengan baris ke-

j

, dinotasikan :

R_{i} \leftrightarrow R_{j}

Mempertukarkan baris ke-

j

dengan baris ke-

i

, dinotasikan :

R_{j} \leftrightarrow R_{i}

Mengalikan baris ke-

i

dengan skalar

k

k \neq 0

dan dinotasikan :

k R_{i} \to R_{i}

Mengalikan baris ke-

i

dengan skalar

\frac{1}{k}

, dinotasikan :

\frac{1}{k} R_{i} \to R_{i}

Menambahkan hasil kali baris ke-

i

dengan skalar

k

ke baris ke-

j

, dinotasikan :

k R_{i} + R_{j} \to R_{j}

Menambahkan hasil kali baris ke-

j

dengan skalar

- k

ke baris ke-

i

, dinotasikan :

- k R_{j} + R_{i} \to R_{i}

Operasi-operasi pada ruas kanan tabel di atas dinamakan operasi invers. Lalu apa kegunaan dari operasi tersebut?

Operasi tersebut berguna untuk mencari invers dari suatu matriks dengan menggunakan matriks elementer. Namun kita tidak akan membahasnya di postingan ini. Untuk teorema selanjutnya juga tidak kalah penting dari teorema matriks elementer yang pertama.

Teorema 2

Setiap matriks elementer adalah invertible (dapat dibalik / mempunyai invers) dan inversnya adalah juga matriks elementer.

Maksud dari teorema 2 adalah ketika ada matriks elementer

E_{1}

yang dihasilkan dengan memperagakan sebuah OBE (kita namakan operasi *) pada

I

. Kemudian kita gunakan operasi invers–nya (kita namakan operasi **) pada matriks satuan

I

maka akan menghasilkan matriks elementer

E_{2}

mengingat operasi invers pada pembahasan saat ini juga merupakan operasi baris elementer.

Sehingga berdasarkan teorema 1 maka jika matriks

E_{1}

dikalikan dengan

E_{2}

maka diperoleh :

E 1 E 2 = 1 \dots (i)

Gambaran secara kasarnya yaitu efek operasi (*) akan dikenakan pada matriks

E_{2}

sehingga operasi (*) dan operasi (**) akan bertemu dan saling “meniadakan” dan menyisakan matriks satuan

I

Kemudian dengan cara yang sama jika kita mengalikan matriks

E_{2}

dengan

E_{1}

maka juga diperoleh :

E 1 E 2 = 1 \dots (i i)

Berdasarkan sifat invers pada matriks yaitu jika

A B = B A = I

maka matriks

B = A^{- 1}

atau

A = B^{- 1}

Sehingga berdasarkan persamaan

(i)

dan

(i i)

maka didapat

E_{1} E_{2} = E_{2} E_{1} = I

dan

E_{1} = E_{2}^{- 1}

atau

E_{2} = E_{1}^{- 1}

. Jadi benar bahwa matriks elementer dapat dibalik dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

Contoh :

Misalkan didefinisikan matriks elementer

E_{1}

dan

E_{2}

sebagai berikut.

I 3 \times 3 - \to - - - - 2 R 2 \to R 2 E 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ 100020001 ⎤ ⎦ ⎥

I 3 \times 3 - \to - - - - 1 2 R 2 \to R 2 E 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ 100 0 1 2 0 001 ⎤ ⎦ ⎥

Kemudian kita kalikan keduanya sehingga didapat :

E 1 E 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 100020001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 100 0 1 2 0 001 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥

dan dengan cara yang sama juga diperoleh :

E 2 E 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 100 0 1 2 0 001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 100020001 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥

Jadi didapat

E_{1} E_{2} = E_{2} E_{1} = I

dan berdasarkan sifat invers pada matriks maka

E_{1} = E_{2}^{- 1}

atau

E_{2} = E_{1}^{- 1}

Selanjutnya disarankan membaca : Penerapan Matriks Elementer dan Metode Mencari Invers yang Lebih Ringkas

Karena jika biasanya dalam mencari invers suatu matriks perlu mencari determinan lalu mencari transpose matriks adjoint dan seterusnya. Apalagi jika invers yang dicari dari matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang banyak pasti akan repot.

metode partisi matriks

Untuk mempermudah kita langsung ke contoh soal saja. Jadi disini saya memiliki sebuah matriks berordo 3×3

Langkah 1

Langkah pertama dalam mengerjakan Metode Partisi adalah dengan menentukan A11,A12,A21 dan A2 dimana untuk pembagiannya bisa menggunakan banyak cara tergantung dari yag mengerjakan soal.

Langkah 2

mencari invers A22, hal ini dikarenakan invers A22 akan digunakan di dalam rumus-rumus partisi selanjutnya.

kalian masih ingatkan invers matriks ordo 2×2! bagi yang lupa bis lihat di gambar 😉

Langkah 3

Mencari Matriks B11 dengan rumus

Nah kita tinggal mensubtitusikan nilai A11,A12,invers A22,dan A21. dan jalankan secara matematis, namun don’t forget untuk menginverskan hasilnya lagi 🙂

Langkah 4

Mencari Matriks B12 dengan rumus

Nah kita tinggal mensubtitusikan nilai B11,A12,dan invers A22. dan jalankan secara matematis, namun don’t forget untuk mengalikan hasilnya dengan (-) 🙂

Langkah 5

Mencari Matriks B21 dengan rumus

Nah kita tinggal mensubtitusikan nilai B11,A21,dan invers A22. dan jalankan secara matematis, namun don’t forget untuk mengalikan hasilnya dengan (-) 🙂

Langkah 6

Mencari Matriks B22 dengan rumus

Nah kita tinggal mensubtitusikan nilai B12,A21,dan invers A22. dan jalankan secara matematis 🙂

Langkah 7

terakhir subtitusikan Matriks B11,B12,B21,dan B22 pada matriks yang

berordo 3×3.

setelah kita subtitusikan didapatkan hasil dari invers dari matriks A

Nah jadi itulah Metode Partisi , Jadi Gimana nih udah paham kan? Pasti paham dong 🙂

Ada baiknya sebelum materi ini selesai, diadakan kuis untuk kelompok yang dipilih secara random(acak) .metode ini adalah metode yang dilakukan Ibu Efy Yosrita,S.Si, M.Kom Metode ini sangat membantu karena itu dapat membantu kita untuk mengingat kembali materi yang telah diberikan.

Semangat terus untuk latihan, Hammasah Fillah, Man Jadda Wa Jadda.

sampai disini ALLI kita dengan sub bab judul “Metode Partisi” sampai bertemu di blog-blog selanjutnya.SEMOGA BERMANFAAT

Wassalammualaikum Wr.WB

Cari Blog Ini

zulfiereducation